Un sistema de ecuaciones son ecuaciones con las mismas incógnitas que describen un sistema o situación. Una solución de un sistema es asignar valores a las incógnitas que hace verdadera a todas las ecuaciones del sistema. Resolver un sistema significa hallar todas las soluciones del sistema.

En este caso nos centraremos en las ecuaciones lineales.

Para resolver sistemas de ecuaciones existen varios métodos:

• Método de sustitución.
• Método por eliminación.
• Método de igualación.

El método de sustitución. Comenzamos con una ecuación en el sistema y despejamos una incógnita en términos de la otra incógnita.

• Paso 1. Despejar una incógnita: escoja una ecuación y despeja una incógnita en términos de otra.
• Paso 2. Sustituir: sustituye en la incógnita de la segunda ecuación la ecuación hallada en el primer paso. Ahora, despeja la incógnita.
• Paso 3. Hallar la segunda incógnita: con la solución hallada en el paso 2, sustituye el valor de la incógnita en la ecuación del paso 1 para despejar la ecuación restante.

Ejemplo 1

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Entonces, x=-2 y y=5. Esto quiere decir que en la coordenada (-2,5) las dos rectas de las ecuaciones cruzan por ese punto.

En el método por eliminación, combinamos las ecuaciones usando sumas o restas usando una de las incógnitas.

• Paso 1. Ajustar los coeficientes: multiplica una o más de las ecuaciones por un número apropiado de tal manera que el coeficiente de una incógnita sea negativo y el coeficiente de la misma incógnita de la segunda ecuación sea positivo, pero el coeficiente debe ser el mismo número.
• Paso 2. Sumar las ecuaciones: suma las dos ecuaciones para eliminar una incógnita y, a continuación, despeja la incógnita restante.
• Paso 3. Sustituir a la inversa: en una de las ecuaciones originales, sustituye el valor hallado en el paso 2 y despeja la incógnita restante.

Ejemplo 2:

Paso 1 y 2:

Paso 3:

Entonces, x=4 y y=1. Esto quiere decir que en la coordenada (4,1) las dos rectas de las ecuaciones cruzan por ese punto.

En el método de igualación despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones y las igualamos.

• Paso 1. Despejar incógnitas: despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
• Paso 2. Igualación: ahora las dos ecuaciones del paso uno igualarlas y resolver para la incógnita.
• Paso 3. Sustituir: con el resultado del paso dos, sustituye el resultado en una de las dos ecuaciones originales y resuelve para la incógnita restante.

Ejemplo 3:

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Entonces, x=2 y y=3. Esto quiere decir que en la coordenada (2,3) las dos rectas de las ecuaciones cruzan por ese punto.

Hagamos un par de ejemplos más:

Para resolver este sistema de ecuaciones lo podemos hacer a través de cualquier método, en este caso escogeremos el método de sustitución.

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

El resultado entonces es x= 1 y y=-2.

El segundo problema:

Para resolver este sistema de ecuaciones lo podemos hacer a través de cualquier método, en este caso escogeremos el método de suma y resta.

Paso 1:

Multiplicamos la primera ecuación por -2 para cancelar el -4x con el 4x y de esta manera solo dejar la incógnita y.

Paso 2:

Paso 3:

Ejercicios: